窗函數(shù)是減少泄露的有效手段之一，它通過(guò)對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行加權(quán)，將采集到的信號(hào)塊由非周期信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛盘?hào)，使其滿(mǎn)足傅里葉變換的周期性要求。

加窗的方法就是對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行時(shí)域加權(quán)：

x_{win}(n) = x(n) * win(n)

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可知，時(shí)域信號(hào)加窗，相當(dāng)于信號(hào)頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積。

常用的窗函數(shù)主要有：

– 矩形窗
– 漢寧窗
– 平頂窗
– Blackman-Harris
– Kaiser-Bessel

矩形窗

矩形窗上各點(diǎn)均是1，也就是不加窗。

w(n) = 1, n\in[0, N-1]

其中n為索引，N為采樣點(diǎn)數(shù)，其時(shí)域和頻域如下圖所示：

?漢寧窗

w(n) = 0.5(1-cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})), n\in[0, N-1]

平頂窗

w(n) = (1-1.93cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+1.29cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.388cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})+0.0322cos(\frac{8{\pi}n}{N-1}))/4.634, n\in[0, N-1]

Blackman-Harris

w(n) = 0.35875 - 0.48829cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+0.14128cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.01168cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})

Kaiser-Bessel

w(n) = 0.40243 - 0.49804cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+0.09831cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.00122cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})

窗函數(shù)的影響

因?yàn)榧哟跋喈?dāng)于對(duì)被測(cè)信號(hào)頻域上的卷積，結(jié)果相當(dāng)于將窗函數(shù)頻譜平移到原信號(hào)頻譜后的加權(quán)疊加，也就是將原頻域信號(hào)沿著窗函數(shù)頻域曲線泄露了出去，窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣衰減直接影響了窗函數(shù)的性能。

考慮到數(shù)字信號(hào)處理僅計(jì)算n{\Delta}f各點(diǎn)的值，因此當(dāng)被測(cè)信號(hào)頻率靠近n{\Delta}f時(shí)泄露較小，而靠近(n + 1/2){\Delta}f時(shí)泄露較大。

窗函數(shù)的主瓣寬度越大，頻譜的幅值就越接近被測(cè)信號(hào)，但是同時(shí)距離較近的頻率就越難被分辨出來(lái)。旁瓣衰減的越快則由旁瓣帶來(lái)的泄露也越小。

?總結(jié)

窗函數(shù)的區(qū)別主要考慮其主瓣寬度和旁瓣衰減。主瓣的頂部寬度越寬，對(duì)幅值測(cè)量的精度越高。主瓣寬度和旁瓣的衰減同時(shí)影響頻率的分辨能力，主瓣寬度越小、旁瓣衰減越快，對(duì)頻率的分辨能力越強(qiáng)，泄露的程度就越小。在使用過(guò)程中應(yīng)該根據(jù)測(cè)試的實(shí)際情況選擇合適窗函數(shù)。通常情況下矩形窗適合被測(cè)信號(hào)自身可以保證整周期采樣的情況，如力錘敲擊等；隨機(jī)信號(hào)可選用漢寧窗，可以同時(shí)兼顧幅值精度和分辨能力；平頂窗適合校準(zhǔn)等幅值需要精確測(cè)量的情況。