窗函數(shù)是減少泄露的有效手段之一，它通過對時域信號進(jìn)行加權(quán)，將采集到的信號塊由非周期信號轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛盘枺蛊錆M足傅里葉變換的周期性要求。

加窗的方法就是對采集到的信號進(jìn)行時域加權(quán)：

x_{win}(n) = x(n) * win(n)

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可知，時域信號加窗，相當(dāng)于信號頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積。

常用的窗函數(shù)主要有：

– 矩形窗
– 漢寧窗
– 平頂窗
– Blackman-Harris
– Kaiser-Bessel

矩形窗

矩形窗上各點均是1，也就是不加窗。

w(n) = 1, n\in[0, N-1]

其中n為索引，N為采樣點數(shù)，其時域和頻域如下圖所示：

?漢寧窗

w(n) = 0.5(1-cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})), n\in[0, N-1]

平頂窗

w(n) = (1-1.93cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+1.29cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.388cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})+0.0322cos(\frac{8{\pi}n}{N-1}))/4.634, n\in[0, N-1]

Blackman-Harris

w(n) = 0.35875 - 0.48829cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+0.14128cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.01168cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})

Kaiser-Bessel

w(n) = 0.40243 - 0.49804cos(\frac{2{\pi}n}{N-1})+0.09831cos(\frac{4{\pi}n}{N-1})-0.00122cos(\frac{6{\pi}n}{N-1})

窗函數(shù)的影響

因為加窗相當(dāng)于對被測信號頻域上的卷積，結(jié)果相當(dāng)于將窗函數(shù)頻譜平移到原信號頻譜后的加權(quán)疊加，也就是將原頻域信號沿著窗函數(shù)頻域曲線泄露了出去，窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣衰減直接影響了窗函數(shù)的性能。

考慮到數(shù)字信號處理僅計算n{\Delta}f各點的值，因此當(dāng)被測信號頻率靠近n{\Delta}f時泄露較小，而靠近(n + 1/2){\Delta}f時泄露較大。

窗函數(shù)的主瓣寬度越大，頻譜的幅值就越接近被測信號，但是同時距離較近的頻率就越難被分辨出來。旁瓣衰減的越快則由旁瓣帶來的泄露也越小。

?總結(jié)

窗函數(shù)的區(qū)別主要考慮其主瓣寬度和旁瓣衰減。主瓣的頂部寬度越寬，對幅值測量的精度越高。主瓣寬度和旁瓣的衰減同時影響頻率的分辨能力，主瓣寬度越小、旁瓣衰減越快，對頻率的分辨能力越強，泄露的程度就越小。在使用過程中應(yīng)該根據(jù)測試的實際情況選擇合適窗函數(shù)。通常情況下矩形窗適合被測信號自身可以保證整周期采樣的情況，如力錘敲擊等；隨機(jī)信號可選用漢寧窗，可以同時兼顧幅值精度和分辨能力；平頂窗適合校準(zhǔn)等幅值需要精確測量的情況。